Лабораторная работа 3 Итерационные методы решения систем линейных уравнений Итерационные методы реш1



Работа добавлена на сайт TXTRef.ru: 2019-04-13

     Лабораторная работа   3

Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Итерационные методы решения систем линейных уравнений отличаются самоисправляемостью и простотой реализации на ЭВМ. Итерационные методы требуют задания начальных приближений. Сходимость итерационных методов зависит от свойств матрицы системы и выбора начальных приближений.

Рассматривается следующая система:

,

где       .

  1.  Метод итераций

Перед применением метода итераций систему (1) необходимо привести к эквивалентному виду

.

Метод итераций для системы (2) имеет вид

.

Теорема. Если , где  то метод итераций сходится при любом начальном приближении  со скоростью геометрической прогрессии.

В качестве начального приближения обычно выбирается вектор свободных членов , тогда для оценки числа итераций, необходимых для достижения заданной точности, можно использовать формулу

 

Пример. Методом итераций решить систему линейных уравнений

предварительно оценив число необходимых для этого шагов, .

Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определим из соотношения (3). Здесь

,

; значит, итерационный процесс сходится;

,

. Имеем

;  ;  ;  ;  .

В качестве нулевого приближения выбираем вектор С.

Итерации вычисляются по формулам:

Вычисления расположим в таблице

0

2,15

-0,83

1,16

0,44

1

2,9719

-1,0775

1,5093

-0,4326

2

3,3555

-1,0721

1,5075

-0,7317

3

3,5017

-0,0106

1,5015

-0,8111

4

3,5511

-0,9277

1,4944

-0,8312

5

3,5637

-0,9563

1,4834

-0,8298

6

3,5678

-0,9566

1,4890

-0,8332

7

3,5700

-0,9575

1,4889

-0,8356

8

3,5709

-0,9573

1,4890

-0,8362

9

3,5712

-0,9571

1,4889

-0,8364

10

3,5713

-0,9570

1,4890

-0,8364

  1.  Метод Якоби

Метод Якоби для системы (1) в координатной форме имеет вид

,  

Теорема. Пусть  - матрица с диагональным преобладанием, то есть

.

Тогда метод Якоби сходится.

Если систему (1) представить в виде (2), то можно оценить количество итераций по формуле (3).

Пример. Методом Якоби решить систему линейных уравнений

предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценить число необходимых шагов для достижения точности 0,001.

Приведем систему к  виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

   

Для оценки числа итераций запишем эту систему в виде (2), поделив каждое уравнение на диагональный элемент:

    

Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определяется из соотношения (3). Здесь

,

;  

,

. Имеем

;  ;  ;  .

Нулевое приближение;  

Вычислим первое приближение  

где  - элементы матрицы

,

а - элементы вектора .

,       .

,       .

,       .

Для окончания вычислений нужно произвести 6 итераций.

3. Метод простой итерации

Метод простой итерации для системы (1) имеет вид

или в канонической форме

,

где  - постоянный итерационный параметр.

Теорема. Если  - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод простой итерации сходится при .

Теорема. Если , где , то метод простой итерации сходится.

Пример. Пусть матрица A имеет вид

,

тогда

;  

. (складываются модули элементов  в каждой строке )

Выберем  так, чтобы выполнялось условие сходимости .

.

Число итераций, необходимое для заданной точности, можно вычислить как в случае метода итераций.

  1.  Метод Зейделя

Итерационный метод Зейделя для системы (1) в координатной форме имеет вид

,  

Теорема. Если  - матрица с диагональным преобладанием, тогда метод Зейделя сходится для любого начального приближения.

Теорема. Если  -  симметричная положительно определенная матрица, тогда метод Зейделя сходится.

Пример. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений

,

приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк

Нулевое приближение .

Первое приближение

и т.д.

Окончание вычислений определяется условием

,

где  - заданное число.

  1.  Метод верхней релаксации

Метод верхней релаксации является обобщением метода Зейделя. В координатной форме метод верхней релаксации имеет следующий вид

,  

При   этот метод совпадает с методом Зейделя.

Теорема. Если  - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод верхней релаксации сходится при .

Окончание вычислений определяется условием

,

где  - заданное число.

  1.  Метод минимальных невязок

Метод минимальных невязок определен для систем уравнений с симметричной положительно определенной матрицей . Этот метод определяется формулой

,                                      (4)

где параметр  выбирается из условия минимума  при заданной норме  :

,   

Теорема. Если  - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод минимальных невязок сходится.

Окончание вычислений определяется условием

,

где  - заданное число.

  1.  Метод скорейшего спуска

Если в формуле (4) итерационный параметр  выбирается из условия минимума , где  при заданном , то этот метод называется методом скорейшего спуска. Итерационные параметры вычисляются по формуле

,         .

Теорема. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, тогда метод скорейшего спуска сходится.

Окончание вычислений определяется условием

,

где  - заданное число.

Задачи

Методом итераций решить системы линейных уравнений, предварительно приведя их к виду, удобному для итераций и оценив число необходимых для этого шагов, .

№ 1.

2.

3.

4.

Методом Якоби решить системы линейных уравнений, предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценив число необходимых шагов для достижения точности 0,001.

№ 5.

6.

7.

8.

Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001.

№ 9.

№ 10.

№ 11.

№ 12.

Методом Зейделя решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .

№ 13.

№ 14.

№ 15.

№ 16.

Методом верхней релаксации решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

Решить системы линейных уравнений методом минимальных невязок и методом скорейшего спуска, .

№ 21.

№ 22.

№ 23.

№ 24.

Другие работы

. Зміст світогляду групується довкола відноше...


Вперше поняття ldquo;філософіяrdquo; використав А Конфуцій Б Піфагор В Сократ Г Демокрит 4. Метафорична характеристика філософії як ldquo;Нічийн...

Подробнее ...

дружественных режимов и движений в странах тр...


В отношении стран социалистического содружества политика СССР характеризовалась в эти годы более плотной опекой и жесткими мерами вплоть до воор...

Подробнее ...

Рассмотрим на проективной плоскости овальную ...


Будем рассматривать только точки принадлежащие кривой ? и область ?. Пусть точки . Прямую проходящую через точки и обозначим через ? а точки пер...

Подробнее ...

. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ И ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЮРИДИЧЕСКО...


Единый учет преступлений 52 2. Статистика как совокупность сведений о массовых явлениях в обществе и природе: статистика населения статистика ра...

Подробнее ...