Трыганаметрычныя функцыі: ( sin alpha ), ( cos alpha ), ( tan alpha ), ( cot alpha ), ( sec alpha ), ( csc alpha )

Мноства сапраўдных лікаў: ( mathbb)

Каардынаты кропкі акружнасці: (x ), (y )

трыганаметрычныя функцыі ўяўляюць сабой элементарныя функцыі, аргументам якіх з’яўляецца кут . З дапамогай трыганаметрычных функцый апісваюцца суадносін паміж бакамі і вострымі кутамі ў прастакутным трыкутніку. Вобласці ўжывання трыганаметрычных функцый надзвычай разнастайныя. Так, напрыклад, любыя перыядычныя працэсы можна прадставіць у выглядзе сумы трыганаметрычных функцый (шэрагу Фур’е). Дадзеныя функцыі часта з’яўляюцца пры вырашэнні дыферэнцыяльных і функцыянальных раўнанняў.

Да трыганаметрычных функцый ставяцца наступныя 6 функцый: сінус , косінус , тангенс , катангенс , секанс і косеканс . Для кожнай з названых функцый існуе зваротная трыганаметрычныя функцыя.

Геаметрычнае вызначэнне трыганаметрычных функцый зручна ўвесці з дапамогай адзінкавага круга . На прыведзеным ніжэй малюнку намаляваны круг радыусам (r = 1 ). На акружнасці пазначаная кропка (M left ( Right) ). Кут паміж радыус-вектарам (OM ) і дадатным кірункам восі (Ox ) роўны ( alpha ).

сінусам кута ( alpha ) завецца стаўленне ардынаты (y ) кропкі (M left ( Right) ) да радыусе (r ):

Паколькі (r = 1 ), то сінус роўны ардынаце пункту (M left ( Right) ).

косінусам кута ( alpha ) завецца стаўленне абсцыс (x ) кропкі (M left ( Right) ) да радыусе (r ):

тангенсам кута ( alpha ) завецца стаўленне ардынаты (y ) кропкі (M left ( Right) ) да ee абсцыс (x ):

катангенсам кута ( alpha ) завецца стаўленне абсцыс (x ) кропкі (M left ( Right) ) да яе ардынаце (y ):

Секанс кута ( alpha ) — гэта стаўленне радыусу (r ) да абсцыс (x ) кропкі (M left ( Right) ):

( Sec alpha = r / x = 1 / x, ; ; x ne 0 )

Косеканс кута ( alpha ) — гэта стаўленне радыусу (r ) да ардынаце (y ) кропкі (M left ( Right) ):

( Csc alpha = r / y = 1 / y, ; ; y ne 0 )

У адзінкавым крузе праекцыі (x ), (y ) кропкі (M left ( Right) ) і радыус (r ) утвараюць прастакутны трыкутнік, у якім (x, y ) з’яўляюцца катэтамі, а (r ) — гіпатэнузай. Таму, прыведзеныя вышэй вызначэння трыганаметрычных функцый у дадатку да прастакутнага трыкутніку фармулююцца такім чынам:

сінусам кута ( alpha ) завецца стаўленне процілеглыя катэта да гіпатэнузы.

косінусам кута ( alpha ) завецца стаўленне прылеглага катэта да гіпатэнузы.

тангенсам кута ( alpha ) завецца што насупраць катэта да прылеглую.

катангенсам кута ( alpha ) завецца прылеглага катэта да процілеглых.

Секанс кута ( alpha ) уяўляе сабой стаўленне гіпатэнузы да прылеглую катэты.

Косеканс кута ( alpha ) уяўляе сабой стаўленне гіпатэнузы да процілеглых катэты.

Графік функцыі сінус

(Y = sin x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb), Вобласць значэнняў: (- 1 le sin x le 1 )

Графік функцыі косінус

(Y = cos x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb), Вобласць значэнняў: (- 1 le cos x le 1 )

Графік функцыі тангенс

(Y = tan x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb, x ne left ( <2k + 1> Right) pi / 2 ), вобласць значэнняў: (- infty < tan x < infty)

Графік функцыі катангенс

(Y = cot x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb, x ne k pi ), вобласць значэнняў: (- infty < cot x < infty)

Графік функцыі секанс

(Y = sec x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb, x ne left ( <2k + 1> Right) pi / 2 ), вобласць значэнняў: ( sec x in left ( <-infty , -1> Right] cup left [ <1,infty > Right) )

Графік функцыі косеканс

(Y = csc x ), вобласць вызначэння: (x in mathbb, x ne k pi ), вобласць значэнняў: ( csc x in left ( <-infty , -1> Right] cup left [ <1,infty > Right) )

Сайт аптымізаваны для Chrome, Firefox, Safari і Internet Explorer.

трыганаметрычных функцый

Цотнасці і перыядычнасці трыганаметрычных функцый.

Цотнасць трыганаметрычных функцый.

Цотнасць трыганаметрычных функцый.

куты φ і —φ ўтвараюцца пры павароце прамяня ў двух узаемна процілеглых кірунках (па гадзіннікавай стрэлцы і супраць гадзінны стрэлкі).

Таму канчатковыя боку OA ₁ і ОА ₂ гэтых кутоў сіметрычныя адносна восі абсцыс.

такім чынам, сінус з’яўляецца няцотным, а косінус — цотным функцыяй кута.

таму тангенс і катангенс з’яўляюцца няцотнымі функцыямі кута.

Высветліць, якія з дадзеных функцый з’яўляюцца цотнымі і якія няцотнымі:

Перыядычнасць функцый sin φ і cos φ

Выкажам здагадку, што вектар ОА = (х, у) адзінкавай даўжыні ўтварае з воссю абсцыс кут φ.

Калі зрабіць поўны абарот вектара ОА вакол кропкі Аб супраць гадзінны стрэлкі, то атрымаецца кут φ + 360 °. Але вектар ОА пры гэтым зойме першапачатковае становішча, а таму каардынаты яго х і у не зменяцца.

Гэтыя суадносін паказваюць, што значэнні функцый sin φ і cos φ не змяняюцца, калі іх аргумент, павялічыць на 360 °.

хай f (х) ёсць некаторы выраз, якое залежыць ад зменнай велічыні х.

вызначае у як функцыю аргументу х.

Калі пры любых дапушчальных значэннях аргументу х

дзе Т — некаторы адрозны ад нуля лік, то функцыя f (x) называецца перыядычным, а лік Т — яе перыядам.

Згодна з гэтым азначэнні функцыі sin x і cos х з’яўляюцца перыядычнымі з перыядам Т = 360 °.

пры n поўных зваротах вектара ОА супраць гадзінны стрэлкі утворыцца кут φ + 360 ° n, а па гадзінны стрэлцы — кут φ — 360 ° n. У кожным з гэтых выпадкаў каардынаты х і у вектара не змяняюцца, а таму не змяняюцца sin φ і cos φ.

дзе n — любое цэлы лік (дадатнае, адмоўнае або нуль).

Формулы (1) паказваюць, што кожны з кутоў

з’яўляецца перыядам функцыі sin φ і cos φ. Такім чынам, гэтыя перыядычныя функцыі маюць бясконцае мноства перыядаў.

Можна даказаць, што любая перыядычная функцыя (а не толькі sin φ і cos φ) Мае бясконцае мноства перыядаў.

Кажучы пра перыяд функцыі, зручна з бясконцага мноства ўсіх яе перыядаў мець на ўвазе які-небудзь адзін цалкам пэўны перыяд. звычайна вылучаюць найменшы станоўчы перыяд функцыі.

З усіх разгледжаных вышэй перыядаў функцыі sin φ найменшай станоўчым перыядам з’яўляецца кут у 360 °. Але, можа быць, існуе яшчэ меншы кут, які мы проста не ўлічылі таго, але які, Таксама з’яўляецца перыядам функцыі sin φ? Каб вырашыць гэтае пытанне, выкажам здагадку, што найменшы станоўчы перыяд функцыі sin φ роўны Т. Тады пры любым φ

Але нуля роўныя сінусы толькі тых станоўчых кутоў, якія кратныя куце ў 180 °, то ёсць кутоў у 180 °, 360 °, 540 ° і т. Д. Таму адзіным «конкурентом9raquo; для кута »360 ° з’яўляецца кут у 180 °.

Складае Ці ён перыяд функцыі sin φ? Калі б гэта было так, то роўнасць sin (φ + 180 °) = sin φ павінна было б выконвацца пры ўсіх значэннях φ. У прыватнасці, пры φ = &09deg; мы атрымалі б

Ho sin 270 ° = -1, a sin &09deg; = 1 . Таму кут ў 180 ° не з’яўляецца перыядам функцыі sin φ. Застаецца прызнаць, што перыядам (Гэта значыць найменшай станоўчым перыядам) функцыі sin φ з’яўляецца кут у 360 °.

Аналагічна можна даказаць, што перыядам функцыі cos φ таксама з’яўляецца кут у 360 ° Прапануем навучэнцам пераканацца ў гэтым самастойна.

1. Даказаць наступныя суадносіны:

а) sin 740 ° = sin 20 °; в) cos 54 ° = cos (-1026 °);

2. Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб якія ўваходзяць у іх куты былі станоўчымі і не перавышалі 360 °:

3. Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб якія ўваходзяць у іх куты па абсалютнай велічыні не перавышалі 180 °:

a) cos 72&9deg;; б) sin 1268 °; в) sin (- 535 °); г) cos (- 1001 °).

4. Даказаць, што кут ў 540 ° з’яўляецца адным з перыядаў функцыі у = cos2х.

5. Даказаць, што кут і 360 ° з’яўляецца адным з перыядаў функцыі у = tgx.

6. Дакажыце, што любы перыяд Т функцыі у = cos х з’яўляецца коранем ўраўненні

Ці дакладна адваротнае зацвярджэнне?

Перыядычнасць функцый tg φ і ctg φ

Мы ведаем, што тангенс кута φ роўны ардынаце адпаведнай пункту У на восі тангенсаў. Пры павароце вектара ОА, які ўтварае з воссю абсцыс кут φ, на 180 ° супраць гадзінны стрэлкі вектар зменіць свой кірунак на супрацьлеглае, але якая адпавядае кропка У на восі тангенсаў застанецца ранейшай. Таму не зменіцца і тангенс кута.

Такім чынам, пры любым φ

Гэта азначае, што функцыя tg φ з’яўляецца перыядычным з перыядам 180 °. Але ці будзе кут ў 180 ° найменшай жительным перыядам гэтай функцыі?

Выкажам здагадку, што найменшы станоўчы перыяд функцыі tg φ роўны Т. Тады для ўсіх дапушчальных значэнняў φ павінна быць

У прыватнасці, пры φ = 0 ° атрымліваем:

Але тангенс станоўчага кута роўны нулю толькі тады, калі сінус гэтага кута роўны нулю, гэта значыць пры Т = 180 °, 360 °, 540 ° і т, д. Такім чынам, ніякай станоўчы кут, меншы 180 °, не можа быць перыядам функцыі tg φ. Застаецца прызнаць, чтб перыядам (Гэта значыць найменшай станоўчым перыядам) функцыі tg φ з’яўляецца кут у 180 °.

Аналагічна можна даказаць, што перыядам функцыі сtg φ таксама з’яўляецца кут у 180 °. Прапануем навучэнцам пераканацца ў гэтым самастойна.

1. Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб якія ўваходзяць у іх куты былі станоўчымі і не перавышалі 180 °:

2. Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб якія ўваходзяць у іх куты па абсалютнай велічыні не перавышалі &09deg;:

3. Даказаць, што кут ў 120 ° з’яўляецца адным з перыядаў функцыі у = Ctg 3х.

4. Даказаць, што любы перыяд Т функцыі у = ctg х з’яўляецца коранем ўраўненні

Ці дакладна адваротнае зацвярджэнне?

Аб перыядычных функцыях.

Калі функцыя f (x) пэрыядычная з перыядам Т, то па значэннях гэтай функцыі на любым адрэзку даўжыні Т можна аднавіць яе значэння на ўсёй лікавай прамой.

Сапраўды, хай перыядычная функцыя f (x) зададзена ў інтэрвале (а, а + Т), Дзе Т — перыяд гэтай функцыі.

Пакажам, як можна вызначыць значэння гэтай функцыі ў інтэрвале ( а + Т, а + 2 T ).

Для любой кропкі b з гэтага інтэрвалу можна паказаць кропку b‘ з інтэрвалу (а, а + T ), Адлеглую ад b на адлегласці T.

У сілу перыядычнасці функцыі f (x)

Такім чынам, па зададзеных значэнняў функцыі f у інтэрвале (а, а + T ) Можна аднавіць значэння гэтай функцыі ў інтэрвале (а + Т, а + 2T ). Затым зыходзячы з значэнняў функцыі f у інтэрвале (а + Т, а + 2T ), Можна аднавіць яе значэння ў інтэрвале (а + 2T, а + 3T ). Пасля этогo сапраўды гэтак жа можна знайсці значэння функцыі f у інтэрвале (а + 3T, а + 4T) І т. Д. Аналагічна можна вызначыць значэнні функцыі f (x) і ва ўсіх кропках лікавай прамой, якія ляжаць лявей адрэзка (а, а + Т ).