Тэарэма сінуса — тэарэма, якая ўсталёўвае залежнасць: бакі трыкутніка — процілеглыя ім куты.
Тэарэма сінуса: Боку трохвугольніка прапарцыйныя сінуса процілеглых кутоў.
Ёсць 2 падвіда тэарэмы: звычайная і пашыраная тэарэма сінусам.
Звычайная тэарэма сінусам:
Боку трохвугольніка прапарцыйныя sin процілеглых кутоў.
Пашыраная тэарэма сінусам для адвольнага трыкутніка:
дзе a, b, c — бакі трыкутніка, , β, γ — процілеглыя гэтым бакам куты, а R — радыус акружнасці, якая апісана вакол трыкутніка.
Доказ тэарэмы сінусам.
Хай ёсць трохкутнік, упісаны ў акружнасць. Пазначым яго як ABC.
Што б даказаць ўсю тэарэму, так як трохкутнік мае адвольныя памеры, можна даказаць толькі тое, што суадносіны 1-най адвольнай боку да процілеглага куце адпавядае 2R. Дапусцім, гэта будзе 2R = a / sin , г.зн. калі глядзець па чарцяжы 2R = BC / sin A.
Правядзем дыяметр |BG| для апісанай акружнасці. З ўласцівасці кутоў, якія ўпісаныя ў акружнасць, кут GCB будзе прамым, а кут CGB роўны альбо , калі кропкі A і G знаходзяцца па адзін бок ад прамой BC, або — у процілеглым варыянце. так як sin(-) = Sin, у абодвух выпадках атрымліваем:
a= 2R sin
Паўтараем гэта ж разважанне для пакінутых бакоў трохвугольніка:
Тэарэма сінуса і косинцсов
Тэарэмы косінус і сінусам
тэарэма косінус . Квадрат любога боку трохвугольніка роўны суме квадратаў двух іншых бакоў без падвоенага творы гэтых бакоў на косінус кута паміж імі.
Доказ. Дадзены ΔАВС. разгледзім вектары , , (Мал. 13). відавочна, . Збудуем гэта роўнасць скалярнага ў квадрат:
Выкарыстоўваючы цяпер вызначэнне скалярнага творы вектараў, маем
, дзе , , — даўжыні бакоў ΔАВС, < A — кут паміж бакамі АВ і АС. Тэарэма даказаная.
Тэарэма сінуса. Боку трохвугольніка прапарцыйныя сінуса процілеглых кутоў.
Доказ. Разгледзім ΔАВС з бакамі a, b, c і процілеглымі кутамі #&45; , #&46; , #&47; . Дакажам, што
.
З вяршыні З трохвугольніка АВС апусцім вышыню CD. З прастакутнага ΔАС D, калі #&45; — востры кут, атрымліваем . Калі #&45; — тупы кут, то .
Аналагічна з прастакутнага Δ BCD атрымліваем . Такім чынам, , г.зн. . Апускаючы вышыню ў трыкутніку АВС з вяршыні А, аналагічна маем . Такім чынам, .
Відавочна, што гэтая формула справядлівая ў выпадку прамавугольнага трохвугольніка АВС.