Гэты артыкул з’яўляецца разгорнутым адказам на пытанне: «Як скласці раўнанне прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку плоскасці паралельна зададзенай прамой»? Спачатку прыведзена неабходная тэорыя, пасля чаго разабраны рашэння характэрных задач. У зняволенні разабрана знаходжанне раўнанняў прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку трохмернага прасторы паралельна зададзенай прамой.
Рух па старонцы.
Раўнанне прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку плоскасці паралельна зададзенай прамой.
Каб складанне ўраўненні прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку плоскасці паралельна зададзенай прамой, не выклікала цяжкасцяў, ўспомнім важныя факты.
Аксіёма паралельных прамых абвяшчае: на плоскасці праз кропку, ня якая ляжыць на зададзенай прамой, праходзіць адзіная прамая, паралельная дадзенай. Такім чынам, мы можам вызначыць канкрэтную прамую a на плоскасці, паказаўшы прамую лінію b, якой раўналежная прамая a, і кропку М1 , ня якая ляжыць на прамой b, праз якую праходзіць прамая a.
Паставім перад сабой наступную задачу.
Хай на плоскасці зафіксавана прастакутная декартовых сістэма каардынатаў Oxy. Хай у гэтай сістэме каардынатаў зададзена кропка і прамая b, якой адпавядае некаторы раўнанне прамой на плоскасці. Патрабуецца напісаць раўнанне прамой a, якая праходзіць праз кропку М1 і раўналежная прамой b.
Вырашым пастаўленую задачу.
З умовы мы ведаем каардынаты пункту М1 , праз якую праходзіць прамая a. Гэтых дадзеных не дастаткова, каб напісаць раўнанне прамой a.
Нам яшчэ трэба ведаць
Як жа іх знайсці?
Па ўмове прамая a раўналежная прамой b, тады, на падставе неабходнага і дастатковага ўмовы паралельнасці двух прамых на плоскасці, у якасці накіравальнага вектара прамой a мы можам прыняць накіроўвалы вектар прамой b, у якасці нармальнага вектара прамой a мы можам узяць нармальны вектар прамой b, а кутняй каэфіцыент прамой a роўны кутняму каэфіцыенту прамой b (або яны абодва бясконцыя).
Такім чынам, каб у прамавугольнай сістэме каардынат на плоскасці напісаць раўнанне прамой a, якая праходзіць праз зададзеную кропку паралельна зададзенай прамой b, трэба вызначыць
- або каардынаты накіравальнага вектара прамой b (),
- або каардынаты нармальнага вектара прамой b (),
- або кутняй каэфіцыент прамой b (),
прыняць іх адпаведна ў якасці
- каардынатаў накіравальнага вектара прамой a (),
- каардынатаў нармальнага вектара прамой a (),
- вуглавога каэфіцыента прамой a (),
і запісаць патрабаванае раўнанне прамой a адпаведна ў выглядзе
- або ,
- ,
- .
Занясем яснасці — прывядзем прыклады з падрабязнымі рашэннямі на кожны выпадак.
Напішыце раўнанне прамой, якая ў прамавугольнай сістэме каардынат Oxy на плоскасці праходзіць праз кропку паралельна прамой .
З параметрычных раўнанняў прамой нам адразу бачныя каардынаты яе накіравальнага вэктару . Гэты вектар з’яўляецца накіроўвалых вектарам прамой, раўнанне якой нам патрабуецца скласці. Раўнанне прамой, якая праходзіць праз кропку і якая мае накіроўвалы вектар з каардынатамі , мае выгляд .
Гэта і ёсць шуканыя ўраўненні прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку паралельна зададзенай прамой .
.
Часам патрабуецца скласці раўнанне прамой вызначанага выгляду, якая праходзіць праз зададзеную кропку плоскасці паралельна зададзенай прамой. У гэтым выпадку спачатку запісваем раўнанне прамой, якое прасцей за ўсё атрымаць, пасля чаго прыводзім яго да патрэбнага ўвазе.
Складзіце раўнанне прамой ў адрэзках, калі гэтая прамая у прамавугольнай сістэме каардынат Oxy праходзіць праз кропку плоскасці з каардынатамі паралельна прамой .
Відавочна, нармальным вектарам прамой, агульнае раўнанне якой мае выгляд , з’яўляецца вектар . Гэты вектар таксама з’яўляецца нармальным вектарам прамой, раўнанне якой мы шукаем. Агульнае раўнанне прамой, якая праходзіць праз кропку з каардынатамі і якая мае нармальны вектар мае выгляд . Гэта агульнае раўнанне прамой, якая праходзіць праз кропку з каардынатамі паралельна прамой . Засталося перайсці ад атрыманага ўраўненні прамой да патрабаванага раўнанні прамой ў адрэзках: .
.
Напішыце раўнанне прамой, якая ў прамавугольнай сістэме каардынат Oxy на плоскасці праходзіць праз кропку і раўналежная прамой .
Мы ведаем, што вуглавыя каэфіцыенты паралельных прамых роўныя (ці бясконцыя), тады — вуглавы каэфіцыент прамой, раўнанне якой нам патрабуецца скласці. Па ўмове гэтая прамая праходзіць праз кропку , такім чынам, яе раўнанне мае выгляд .
.
Такім чынам, раўнанне прамой a, якая праходзіць праз зададзеную кропку плоскасці M1 паралельна зададзенай прамой b, прасцей за ўсё запісваць у такім выглядзе, у якім запісана раўнанне зададзенай прамой b.
Ўраўненні прамой, якая праходзіць праз зададзеную кропку прасторы паралельна зададзенай прамой.
У трохмернай прасторы праз кропку М1 , ня якая ляжыць на прамой b, праходзіць адзіная прамая a, паралельная прамой b. Такім чынам, прамую ў прасторы можна задаць, паказаўшы кропку, праз якую яна праходзіць, і прамую, якой яна раўналежная.
Хай у трохмернай прасторы зафіксавана прамавугольная сістэма каардынат Oxyz, зададзена прамая b некаторымі раўнаннямі прамой у прасторы і кропка . Патрабуецца напісаць ўраўненні прамой a, якая праходзіць праз кропку M1 паралельна прамой b.
Накіроўвалых вектарам прамой a з’яўляецца накіроўвалы вектар прамой b. Такім чынам, па вядомых раўнаннях прамой b мы можам вызначыць каардынаты яе накіравальнага вэктару, а, такім чынам, і каардынаты накіравальнага вектара прамой a. Пасля гэтага мы можам запісаць кананічныя ўраўненні прамой a ў прасторы і параметрычныя ўраўненні прамой a ў прасторы, так як вядомыя каардынаты кропкі, якая ляжыць на прамой a, і каардынаты накіравальнага вектара прамой a.
Разгледзім рашэння прыкладаў.
Напішыце ўраўненні прамой, якая праходзіць праз пачатак прамавугольнай сістэмы каардынатаў Oxyz ў трохмернай прасторы паралельна прамой .
Відавочна, накіроўвалых вектарам прамой з’яўляецца вектар з каардынатамі . Гэты ж вектар з’яўляецца накіроўвалых вектарам прамой, раўнанне якой мы складаем. Па ўмове гэтая прамая праходзіць праз кропку , такім чынам, яе кананічныя ўраўненні маюць від .
.
Ад кананічных раўнанняў прамой a пры неабходнасці можна будзе перайсці да раўнаннях двух плоскасцяў, перасякальных па прамой a.
У трохмернай прасторы ў прамавугольнай сістэме каардынат Oxyz зададзены тры кропкі . Напішыце ўраўненні двух плоскасцяў, якія перасякаюцца па прамой, якая праходзіць праз кропку З паралельна прамой АВ.
Накіроўвалых вектарам прамой, якая праходзіць праз кропку З паралельна прамой АВ, з’яўляецца вектар . Па каардынатах кропак У і А мы можам вылічыць каардынаты вектара (Пры неабходнасці глядзіце артыкул вылічэнне каардынатаў вектара па каардынатах кропак канца і пачатку вектару): . Кананічныя раўнанні прамой, якая праходзіць праз кропку і якая мае накіроўвалы вектар , запішуцца як .
Засталося атрымаць ўраўненні двух перасякальных плоскасцяў, задавалых гэтую прамую:
.
Раўнанне паралельнай прамой
уПУФБЧШФЕ ХТБЧОЕОЙЕ РТСНПК, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ M(- 3, 2) РБТБММЕМШОП РТСНПК 2x — 3y + 4 = 0.
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX
ъБРЙЫЕН ХТБЧОЕОЙЕ ДБООПК РТСНПК Ч ЧЙДЕ y = x + . рПУЛПМШЛХ ЙУЛПНБС РТСНБС РБТБММЕМШОБ ДБООПК, ЕЈ ХЗМПЧПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ТБЧЕО ХЗМПЧПНХ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФХ ДБООПК, Ф.Е. . ъОБЮЙФ, ХТБЧОЕОЙЕ ЙУЛПНПК РТСНПК ЙНЕЕФ ЧЙД y = x + l.
рПУЛПМШЛХ ФПЮЛБ M(- 3, 2) МЕЦЙФ АБ ЬФПК РТСНПК, ЕЈ ЛППТДЙОБФЩ ХДПЧМЕФЧПТСАФ РПМХЮЕООПНХ ХТБЧОЕОЙА, Ф.Е. 2 =. (- 3) + l — ЧЕТОПЕ ТБЧЕОУФЧП. пФУАДБ ОБИПДЙН, ЮФП l = 4. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЙУЛПНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ЧЙД y = x + 4, ЙМЙ 2x — 3y + 12 = 0.
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX