Теорема синусов и косинцсов

Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника — противолежащие им углы.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:

a=2R sin

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

Теорема синусов и косинцсов

Теоремы косинусов и синусов

Теорема косинусов . Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство. Дан ∆АВС. Рассмотрим векторы , , (рис. 13). Очевидно , . Возведем это равенство скалярно в квадрат:

Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем

, где , , — длины сторон ∆АВС, < A – угол между сторонами АВ и АС. Теорема доказана.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Рассмотрим ∆АВС со сторонами a , b , c и противолежащими углами &#&45; , &#&46; , &#&47; . Докажем, что

.

Из вершины С треугольника АВС опустим высоту CD . Из прямоугольного ∆АС D , если &#&45; – острый угол, получаем . Если &#&45; – тупой угол, то .

Аналогично из прямоугольного ∆ BCD получаем . Таким образом, , т.е. . Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А , аналогично имеем . Итак, .

Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: