У пірамідзе каштуюць 15 вінтовак, з іх 6 з аптычным прыцэлам. Стрэлак страляючы з вінтоўкі з аптычным прыцэлам, можа ўразіць мішэнь с.
Вызначыць верагоднасць таго, што пры 150 стрэлах з вінтоўкі мішэнь будзе здзіўленая 70 раз, калі ве¬роятность паразы мішэні пры адным.
4. Верагоднасць паразы мішэні пры адным стрэле = 0,8. Знайсці верагоднасць таго, што мішэнь з 200 стрэлаў будзе здзіўленая ад 147 да 150.
Верагоднасць траплення ў мішэнь пры адным стрэле для дадзенага стрэлка роўная 0.6. Знайсці верагоднасць таго, што пры 200 стрэлах мішэнь будзе.
Добры дзень. Вырашаю такую задачу: Каманда складаецца з двух стралкоў. Верагоднасць траплення ў мішэнь адным стрэлам для першага стрэлка.
Па мішэні стрэлілі 1000 разоў. Верагоднасць траплення ў мішэнь роўная 0,9. Якая верагоднасць таго, што мішэнь будзе здзіўленая ад 400 да 600.
1.Вычислить верагоднасці падзей, карыстаючыся формуламі складання і (або) множання верагоднасцяў. Тры стрэлка адначасова робяць па адным.
Дапамажыце вырашыць задачу. Верагоднасць траплення ў мішэнь 1 стралком 0,6; 2 — 0,5; 3 — 0.8. Быў выраблены адзін стрэл, мішэнь ня.
Знайсці верагоднасць таго, што даўжыня наўздагад ўзятай дэталі больш 55 мм — Тэорыя верагоднасцяў
Аўтамат штампуе дэталі. Кантралюецца даўжыня Х, якая размеркавана нармальна з мат. чаканнем = 50 мм. Фактычна даўжыня вырабленых.
Два стрэлка па чарзе страляюць у мішэнь. Верагоднасць траплення першымі стрэламі для іх роўныя адпаведна 0,4 і 0,5 а верагоднасці.
Формула поўнай верагоднасці. Прыклады рашэнняў задач
Вядома, што якасць пастаўляюцца дэталяў рознае, і ў прадукцыі першага пастаўшчыка адсотак шлюбу складае 4%, другога — 5%, трэцяга — 2%. Вызначыць верагоднасць таго, што дэталь, абраная наўздагад з усіх атрыманых, будзе бракаванай.
рашэнне. Абазначым падзеі: A — «абраная дэталь бракаваны», Hi — «абраная дэталь атрымана ад i-га пастаўшчыка», i = 1, 2, 3 Гіпотэзы H1, H2, H3 ўтвараюць поўную групу несумеснымі падзей. па ўмове
Па формуле поўнай верагоднасці (1.11) верагоднасць падзеі A роўная
Верагоднасць таго, што абраная наўздагад дэталь апынецца бракаванай, роўная 0.036.
Хай ва ўмовах папярэдняга прыкладу падзея A ўжо адбылося: абраная дэталь апынулася бракаванай. Якая верагоднасць таго, што яна была атрымана ад першага пастаўшчыка? Адказ на гэтае пытанне дае формула Байеса.
Мы пачыналі аналіз верагоднасцяў, маючы толькі папярэднія, апрыёрныя значэння верагоднасцяў падзей. Затым быў выраблены досвед (абраная дэталь), і мы атрымалі дадатковую інфармацыю аб цікавіць нас падзеі. Маючы гэтую новую інфармацыю, мы можам ўдакладніць значэння апрыёрных верагоднасцяў. Новыя значэння верагоднасцяў тых жа падзей будуць ужо апастэрыёрнае (послеопытными) верагоднасцямі гіпотэз (мал. 1.5).
Схема пераацэнкі гіпотэз
Хай падзея A можа ажыццявіцца толькі разам з адной з гіпотэз H1, H2, …, Hn (Поўная група несумеснымі падзей). Апрыёрныя верагоднасці гіпотэз мы пазначалі P (Hi) Ўмоўныя верагоднасці падзеі A — P (A | Hi), I = 1, 2, …, n. Калі вопыт ужо выраблены і ў выніку яго наступіла падзея A, то апастэрыёрнае верагоднасцямі гіпотэз будуць ўмоўныя верагоднасці P (Hi| A), i = 1, 2, …, n. У пазначэннях папярэдняга прыкладу P (H1| A) — верагоднасць таго, што абраная дэталь, якая апынулася бракаванай, была атрымана ад першага пастаўшчыка.
Нас цікавіць верагоднасць падзеі Hk| A Разгледзім сумеснае наступ падзей Hk і A гэта значыць падзея AHk. Яго верагоднасць можна знайсці двума спосабамі, выкарыстоўваючы формулы множання (1.5) і (1.6):
Прыраўнуем правыя часткі гэтых формул
адсюль апастэрыёрная верагоднасць гіпотэзы Hk роўная
У назоўніку варта поўная верагоднасць падзеі A. Падставіўшы замест P (A) яе значэнне па формуле поўнай верагоднасці (1.11), атрымаем:
(1.12)
Формула (1.12) завецца формулай Байеса і ўжываецца для пераацэнкі верагоднасцяў гіпотэз.
Ва ўмовах папярэдняга прыкладу знойдзем верагоднасць таго, што бракаваная дэталь была атрымана ад першага пастаўшчыка. Звядзём ў адну табліцу вядомыя нам па ўмове апрыёрныя верагоднасці гіпотэз P (Hi) Ўмоўныя верагоднасці P (A | Hi) Разлічаныя ў працэсе вырашэння сумесныя верагоднасці P (AHi) = P (Hi) · P (A | Hi) І разлічаныя па формуле (1.12) апастэрыёрнае верагоднасці P (Hk| A), i, k = 1, 2, …, n (табл. 1.3).
Табліца 1.3 — Пераацэнка гіпотэз
H1 — дэталь атрымана ад першага пастаўшчыка
H2 — дэталь атрымана ад другога пастаўшчыка
H3 — дэталь атрымана ад трэцяга пастаўшчыка
Разгледзім апошні радок гэтай табліцы. У другой калонцы варта сума верагоднасцяў несумеснымі падзей H1, H2, H3, якія ўтвараюць поўную групу:
У чацвёртай калонцы значэнне ў кожнай радку (сумесныя верагоднасці) атрымана па правілу множання верагоднасцяў перамнажэннем адпаведных значэнняў у другой і трэцяй калонках, а ў апошнім радку 0.036 — ёсць поўная верагоднасць падзеі A (па формуле поўнай верагоднасці).
У калонцы 5 вылічаныя апастэрыёрнае верагоднасці гіпотэз па формуле Байеса (1.12):
Аналагічна разлічваюцца апастэрыёрнае верагоднасці P (H2| A) і P (H3| A), прычым лічнік дробу — сумесныя верагоднасці, запісаныя ў адпаведных радках калонкі 4, а назоўнік — поўная верагоднасць падзеі A, запісаная ў апошняй радку калонкі 4.
Сума верагоднасцяў гіпотэз пасля вопыту роўная 1 і запісаная ў апошняй радку пятай калонкі.
Такім чынам, верагоднасць таго, што бракаваная дэталь была атрымана ад першага пастаўшчыка, роўная 0.555. Послеопытная верагоднасць больш апрыёрнай (за кошт вялікага аб’ёму пастаўкі). Послеопытная верагоднасць таго, што бракаваная дэталь была атрымана ад другога пастаўшчыка, роўная 0.278 і таксама больш доопытной (за кошт вялікай колькасці шлюбу). Послеопытная верагоднасць таго, што бракаваная дэталь была атрымана ад трэцяга пастаўшчыка, роўная 0.167.
Прыклад №3. Маюцца тры аднолькавыя скрыні; у першай урне два белых і адзін чорны шар; у другі — тры белых і адзін чорны; у трэцяй — два белых і два чорных шара. Для вопыту наўздагад абрана адна урна і з яе вынялі шар. Знайдзіце верагоднасць таго, што гэты шар белы.
Рашэнне. Разгледзім тры гіпотэзы: H1 — абраная першая урна, H2 — абраная другая урна, H3 — абраная трэцяя урна і падзея A — выняты белы шар.
Так як гіпотэзы па ўмове задачы равновозможны, то
Ўмоўныя верагоднасці падзеі A пры гэтых гіпотэза адпаведна роўныя:
Па формуле поўнай верагоднасці
Прыклад №4. У пірамідзе каштуюць 19 вінтовак, з іх 3 з аптычным прыцэлам. Стрэлак, страляючы з вінтоўкі з аптычным прыцэлам, можа ўразіць мішэнь з верагоднасцю 0,81, а страляючы з вінтоўкі без аптычнага прыцэла, — з верагоднасцю 0,46. Знайдзіце верагоднасць таго, што стралок ўразіць мішэнь, страляючы з выпадкова ўзятай вінтоўкі.
Рашэнне. Тут першым выпрабаваннем з’яўляецца выпадковы выбар вінтоўкі, другім — стральба па мішэні. Разгледзім наступныя падзеі: A — стрэлак ўразіць мішэнь; H1 — стрэлак возьме вінтоўку з аптычным прыцэлам; H2 — стрэлак возьме вінтоўку без аптычнага прыцэла. Выкарыстоўваем формулу поўнай верагоднасці. маем
Улічваючы, што вінтоўкі выбіраюцца па адной, і выкарыстоўваючы формулу класічнай верагоднасці, атрымліваем: P (H1) = 3/19, P (H2) = 16/19.
Ўмоўныя верагоднасці зададзены ў ўмове задачы: P (A | H1) = 0; 81 і P (A | H2) = 0; 46. такім чынам,
Прыклад №5. Са скрыні, якая змяшчае 2 белых і 3 чорных шара, наўздагад здабываюцца два шара і дадаецца ў скрыню 1 белы шар. Знайдзіце верагоднасць таго, што наўздагад узяты шар апынецца белым.
Рашэнне. Падзея «выняты белы шар» пазначым праз A. падзея H1 — наўздагад вынялі два белых шара; H2 — наўздагад вынялі два чорных шара; H3 — вынялі адзін белы шар і адзін чорны. Тады верагоднасці вылучаных гіпотэз
Ўмоўныя верагоднасці пры дадзеных гіпотэза адпаведна роўныя: P (A | H1) = 1/4 — верагоднасць атрымаць белы шар, калі ў урне ў дадзены момант адзін белы і тры чорных ша-ра, P (A | H2) = 3/4 — верагоднасць атрымаць белы шар, калі ў урне ў дадзены момант тры белых і адзін чорны шар, P (A | H3) = 2/4 = 1/2 — верагоднасць атрымаць белы шар, калі ў урне ў дадзены момант два белых і два чорных шара. У адпаведнасці з формулай поўнай верагоднасці
Прыклад №6. Вырабляецца два стрэлы па мэты. Верагоднасць траплення пры першым стрэле 0,2, пры другім — 0,6. Верагоднасць разбурэння мэты пры адным трапленні 0,3, пры двух — 0,9. Знайдзіце верагоднасць таго, што мэта будзе разбурана.
Рашэнне. Хай падзея A — мэта разбурана. Для гэтага дастаткова траплення з аднаго стрэлу з двух або паражэнне мэты запар двума стрэламі без промахаў. Вылучым гіпотэзы: H1 — абодва стрэлу патрапілі ў мэта. Тады P (H1) = 0,2 · 0,6 = 0; 12. H2 — альбо першы раз, альбо другі раз быў здзейснены промах. Тады P (H2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. гіпотэза H3 — абодва стрэлу былі пралікі — не ўлічваецца, бо верагоднасць разбурэння мэты пры гэтым нулявая. Тады ўмоўныя верагоднасці адпаведна роўныя: верагоднасць разбурэння мэты пры ўмове абодвух удалых стрэлаў роўная P (A | H1) = 0,9, а верагоднасць разбурэння мэты пры ўмове толькі аднаго удалага стрэлу P (A | H2) = 0,3. Тады верагоднасць разбурэння мэты па формуле поўнай верагоднасці роўная:
Правілы ўводу дадзеных
Можна таксама трэба пакінуць заяўку на дапамогу ў вырашэнні сваіх задач у нашых правераных партнёраў (тут або тут).