Вырашыць 1 / рn 4 20 / pn 2

Please complete the security check to access znanija.com

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 3bef1987321e9804 • Your IP: 5.189.137.82 • Performance & security by Cloudflare

Паўтарэнне незалежных выпрабаванняў. Формулы Бярнулі, Лапласа і Пуасона

Разгледзім сітуацыю, у якой адно і тое ж выпрабаванне паўтараецца шмат разоў і зыход кожнага выпрабаванні незалежны ад зыходаў іншых.

Хай некаторы досвед (выпрабаванне) паўтараецца n раз. Будзем лічыць, што верагоднасць ажыццяўлення падзеі A, звязанага з дадзеным вопытам, пры кожным паўторы вопыту застаецца нязменнай і роўная p (0<р9lt; 1). Тады верагоднасць таго, што падзея A не адбудзецца, таксама будзе нязменнай і роўнай q = 1 — p. Такая паслядоўнасць правядзення аднаго і таго ж вопыту называецца паслядоўнасцю (паўторам) незалежных выпрабаванняў.

Незалежнасць разумеецца ў тым сэнсе, што верагоднасць ажыццяўлення падзеі A ў любым па нумары паўтарэнні досведу не залежыць ад вынікаў вопыту пры ўсіх іншых паўторах. Знойдзем верагоднасць Pn(K) таго, што падзея A ў n выпрабаваннях адбудзецца k раз.

1. Формула Бярнулі. Прыклады прымянення формулы Бярнулі

Верагоднасць таго, што ў серыі з n незалежных выпрабаванняў падзея А наступіць роўна k раз (абыякава ў якой паслядоўнасці) знаходзяць па формуле Бярнулі, калі n з’яўляецца досыць невялікім значэннем:

Pn(K) = Зn k p k q n-k , дзе Зn k = n! / K! (N-k)! — лік спалучэнняў з n па k, р — верагоднасць падзеі А, q — верагоднасць супрацьлеглага падзеі Ā.

У розных задачах даводзіцца знаходзіць наступныя верагоднасці:

  • верагоднасць таго, што ў n выпрабаваннях падзея А наступіць менш m раз: Рn(k<m) = Рn(0) + Рn(1) + … + Рn(M-1);
  • верагоднасць таго, што ў n выпрабаваннях падзея А наступіць больш m раз: Рn(K> m) = Рn(M + 1) + Рn(M + 2) + … + Рn(N);
  • верагоднасць таго, што ў n выпрабаваннях падзея А наступіць не больш m раз: Рn(K≤m) = Рn(0) + Рn(1) + … + Рn(M);
  • верагоднасць таго, што ў n выпрабаваннях падзея А наступіць не менш m раз: Рn(K≥m) = Рn(M) + Рn(M + 1) + … + Рn(N);
  • верагоднасць таго, што ў n выпрабаваннях падзея А наступіць не менш k1 і не больш за k2 раз: Рn(K1≤k≤k2) = Рn(K1) + … + Рn(K2).

Манету падкідваюць 10 разоў. Якая верагоднасць таго, што пры дзесяціразовым падкіданні манеты герб выпадзе 3 разы?

Рашэнне. Лік выпрабаванняў n = 10 невяліка, таму верагоднасць можна вылічыць непасрэдна па формуле Бярнулі:

P10(3) = 120 * (1/2) 3 * (1/2) 7 = 120 * 1/2 10 = 120/1024 = 15 / 128≈0,117

У сям’і пяць дзяцей. Знайсці верагоднасць таго, што сярод гэтых дзяцей: а) роўна дзве дзяўчынкі; б) не больш за два дзяўчынак; в) больш за два дзяўчынак; г) не менш за два і не больш за тры дзяўчынак. Верагоднасць нараджэння дзяўчынкі прыняць роўнай 0,48.

Рашэнне. Лік выпрабаванняў n = 5 невяліка, таму верагоднасць можна вылічыць непасрэдна па формуле Бярнулі:

б) верагоднасць таго, што сярод пяці дзяцей не больш за два дзяўчынак, роўная Р5(K≤2) = Р5(0) + Р5(1) + Р5(2).

г) верагоднасць таго, што сярод пяці дзяцей не менш за два, але не больш за тры дзяўчынак, роўная Р5(2≤k≤3) = Р5(2) + Р5(3),

2. Набліжаныя формулы Лапласа і Пуасона. Прыклад ужывання лакальнай формулы Лапласа

Калі лік выпрабаванняў n вяліка, а верагоднасць р не вельмі малая, то верагоднасць таго, што падзея А наступіць роўна k раз знаходзяць па лакальнай формуле Лапласа (Муавра-Лапласа):

У дадатку прыведзены значэнні функцыі #&81;(X) (табліца 1). пры x>5 мяркуюць #&81;(X) ≈0, для адмоўных значэнняў x карыстаюцца тым, што функцыя #&81;(X) цотны, і, такім чынам, #&81;(- x) = #&81;(X).

Верагоднасць таго, што падзея А з’явіцца ў n выпрабаваннях не менш k1 і не больш за k2 раз знаходзіцца па інтэгральнай формуле Лапласа:

У дадатку прыведзены значэнні функцыі Лапласа #&34;(X) (табліца 2). пры x>5 мяркуюць #&34;(X) ≈0,5, для адмоўных значэнняў x карыстаюцца тым, што функцыя #&34;(X) няцотная, і, такім чынам, #&34;(- x) = — #&34;(X).

Калі лік выпрабаванняў n вяліка, а верагоднасць p з’яўлення падзеі А ў кожным выпрабаванні вельмі малая, то верагоднасць таго, што гэта падзея наступіць роўна k раз знаходзяць па набліжанай формуле Пуасона:

пазначыўшы #&55; = Np — сярэдні лік поспехаў у серыі выпрабаванняў, атрымаем

У дадатку можна вызначыць значэнне p (k; #&55;) Па зададзеных k і #&55; (табліца 3).

Верагоднасць з’яўлення падзеі А ў кожным іх 2400 незалежных выпрабаванняў сталая і роўная 0,6. Знайсці верагоднасць таго, што гэта падзея наступіць роўна 1400 раз.

Рашэнне. Лік выпрабаванняў n = 2400 вяліка, р = 0,6 не вельмі малая, таму скарыстаемся лакальнай формулай Лапласа.

Далей маем: q = 1-0,6 = 0,4, k = 1400, np = 2400 * 0,6 = 1440, npq = 2400 * 0,6 * 0,4 = 576, х = (k-np) / √npq = (1400-1440) / √576 = (-40) / 24≈-1,67.

паколькі функцыя #&81;(X) цотны, то #&81;(-1,67) = #&81;(1,67). па табліцы 1 з прыкладання знаходзім #&81;(1,67) ≈0,0989. Па набліжанай лакальнай формуле Лапласа знаходзім верагоднасць Р2400(1400) ≈ (1/24) * #&81;(1,67) ≈0,0989 / 24≈0,0041.

3. Наивероятнейшее лік поспехаў. Прыклад рашэння задачы

лік k0 называецца наивероятнейшим, калі верагоднасць Рn (k0) Таго, тая падзея A наступіць у n выпрабаваннях роўна k0 раз, з’яўляецца найбольшай з усіх верагоднасцяў Pn (k), k = 0, 1, …, n. Наивероятнейшее лік k0 вызначаецца з падвойнага няроўнасці:

Колькі трэба вырабіць незалежных выпрабаванняў з верагоднасцю з’яўлення падзеі ў кожным выпрабаванні, роўнай 0,4, каб наивероятнейшее лік з’яўленняў падзеі ў гэтых іспытах былі роўна 20?

Рашэнне. Па ўмове k0= 20, р = 0,4, q = 1-р = 0,6. Скарыстаемся падвойным няроўнасцю, з якога вызначаецца наивероятнейшее лік k0: Np-q≤k0≤np + p. Падстаўляючы дадзеныя задачы, атрымаем няроўнасць 0,4n-0,6≤20≤0,4n + 0,4.

Вырашаем асобна кожнае няроўнасць, якое ўваходзіць у дадзенае падвойнае няроўнасць:

Канчаткова маем: 49 ≤ n ≤ 51,5, г.зн. n можа быць роўна 49, 50, 51.

адказ. Шуканае лік выпрабаванняў павінна быць роўна 49 або 50 або 51.

Іншыя артыкулы па дадзенай тэме:

Спіс выкарыстаных крыніц

  1. Гмурман У.Я. Кіраўніцтва да вырашэння задач па тэорыі верагоднасцяў і матэматычнай статыстыцы / М. — «Вышэйшая школа», 2004;
  2. Лисьев В.П. Тэорыя верагоднасцяў і матэматычная статыстыка: падручнік / Маскоўскі дзяржаўны універсітэт эканомікі, статыстыкі і інфарматыкі. — М., 2006;
  3. Семёнычев В. К. Тэорыя верагоднасці і матэматычная статыстыка: Лекцыі / Самара, 2007;
  4. Тэорыя верагоднасцяў: кантрольныя работы і метад. ўказанні для студэнтаў / сост. Л.В. Рудня і інш. / УрГЭУ — Екацерынбург 2008.

2012-2015 © Лана Забродскі (у Google+). Пры капіяванні матэрыялаў сайта спасылка на крыніцу абавязковая

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: